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倉儲中心是供應(yīng)鏈的重要節(jié)點, 在物流管理中起著連接供應(yīng)鏈上下游的作用, 因此倉儲中心的選址直接影響著其他物流決策, 有時候甚至決定著整個物流過程的效率和效益。對倉儲中心位置進行合理規(guī)劃是個傳統(tǒng)的物流問題, 國內(nèi)外學(xué)者進行了廣泛的研究。文獻[1]和文獻[2]從定性的角度分析了影響倉儲中心選址的多種因素, 文獻[3]則從定量角度給出了線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等9種基本形式的選址模型。結(jié)合具體情景, 文獻[4]和文獻[5]在考慮庫存及運輸配送的基礎(chǔ)上, 建立倉儲中心選址模型, 并驗證了其合理性。

然而以上研究都是基于市場需求一定的情景進行研究的, 而市場需求受眾多因素影響, 往往會發(fā)生變化[6,7]。根據(jù)需求的這種特性, 文獻[8]從隨機需求角度將倉儲中心選址問題建模為整數(shù)線性規(guī)劃模型并設(shè)計求解;文獻[9]則在單一中心靜態(tài)選址的基礎(chǔ)上研究了動態(tài)選址問題。但是這些文獻多是考慮自建倉儲中心, 雖然自建倉儲中心更能符合企業(yè)自身存儲物品的特性及要求, 但卻需要巨大的投資, 資金占用率高, 風(fēng)險大[10]。而租賃倉儲中心無需固定投資, 降低了倉儲成本, 特別是其地點選擇具有彈性, 可以隨市場遷移, 降低了需求變動所帶來的風(fēng)險[11]。因此, 對于規(guī)模小, 產(chǎn)品需求波動大的產(chǎn)品來說, 租用倉儲中心可以減少固定投資, 增加資金的流動性, 提高經(jīng)營靈活性。本文正是從這個角度出發(fā), 在需求波動的背景下, 研究了單一第三方倉儲中心的選擇問題。文章首先針對需求變化已知的情形給出了最優(yōu)的倉儲中心選擇策略, 然后為需求變化不可預(yù)知的情形設(shè)計了在線選擇策略, 并從競爭分析的角度討論了策略的競爭性能。

本文所研究的問題描述如下:某公司需要把產(chǎn)品從不同的產(chǎn)地運往銷售地, 銷售地分散著n個需求點, 每個需求點的需求量隨時間而變化。同時在銷售地的不同區(qū)域分散著m個第三方倉儲中心, 公司根據(jù)不同時期的需求量變化情況, 動態(tài)地選擇倉儲中心, 而倉儲中心的更換需要固定的轉(zhuǎn)換成本, 如果限定每階段只選擇一個倉儲中心, 那么公司應(yīng)如何動態(tài)地選擇倉儲中心使得經(jīng)營成本盡量小?

針對該問題, 給出以下符號定義:

C:倉儲中心轉(zhuǎn)換成本;c:單位運輸成本;xi:第i個潛在需求點, i=1, 2, …, n;yj:第j個備選倉儲中心, j=1, 2, …, m;T:階段數(shù), 同時也是決策期限;qit:需求點xi的需在第t階段的需求量, t=1, 2, …, T;dij=d (xi, yj) :需求點xi到倉儲中心yj的最短路程, 設(shè)為已知。

便于討論, 本文基于以下假設(shè):

(1) 不同產(chǎn)地到不同倉儲中心的距離相同;

(2) 由于資金或其他限制, 每階段只選一個倉儲中心;

(3) 在同一時期內(nèi), 不同倉儲中心的單位庫存成本相同;

(4) 不同中心之間的轉(zhuǎn)換需要固定的轉(zhuǎn)換成本, 且忽略中心轉(zhuǎn)換所需的時間。

需要說明的是, 產(chǎn)地到銷售地的距離相對于不同倉儲中心間的距離大得多, 因此在選擇倉儲中心的決策中, 假設(shè)⑴認為不同產(chǎn)地到不同倉儲中心的距離相同, 可以不考慮產(chǎn)地到銷售地的距離影響。假設(shè)⑶說明同一時期的總庫存成本不會因為倉儲中心的不同而不同, 因此只需要考慮從倉儲中心到需求點的運輸成本, 精簡了論證過程。

現(xiàn)在考慮下面兩個問題:

P1:所有需求點在不同階段的需求情況已知時, 如何進行倉儲中心的選擇?

P2:在任何階段, 只知道該階段及以前階段各個需求點的需求情況, 如何進行倉儲中心的選擇?

P1問題是信息完全情形下的多階段動態(tài)決策, 屬于離線問題, 可以設(shè)計相應(yīng)的動態(tài)算法進行求解;P2問題是P1問題對應(yīng)的在線問題, 該問題的特點是任何時刻, 對以后階段的情況不可預(yù)知, 決策者要在只知道以前需求的情況下做出在線決策, 使得收益 (成本或者利潤) 與對應(yīng)的P1問題的最優(yōu)解之間的差距盡量小。針對P2問題, 文章采用在線策略與競爭分析的方法進行研究, 這種方法與以往解決此類問題的方法的最大區(qū)別在于:它在變化因素的每一個特例中都能給出一個方案, 使得這一方案所得到的解離最優(yōu)方案給出的解總在一定的比例之內(nèi)[12,13]。對于費用最小化問題P以及任何有限的輸入序列δ, 如果存在一個常數(shù)r, 使得在線策略G的費用CostG (δ) 與離線最優(yōu)策略OPT的費用CostOPT (δ) 滿足

CostG (δ) ≤r·CostOPT (δ) (1)

則稱該在線策略G為r競爭策略, 或者該在線策略具有競爭比r, 如果某一個在線策略的競爭比滿足r*=lnf(r)G?則稱r*為該在線問題的最優(yōu)競爭比[14]。

文章第三部分針對P1問題給出了線性時間的動態(tài)規(guī)劃算法, 論證了結(jié)論的最優(yōu)性;第四部分針對P2問題給出了一種簡單貪婪策略, 并討論了該策略在一般情形和特殊情形下的競爭性能;第五部分分別用DPA算法和簡單貪婪策略對算例進行分析求解;第六部分對文章進行了總結(jié)及展望。

當(dāng)所有需求點在不同階段的需求情況已知時, 本文給出了線性時間的動態(tài)規(guī)劃算法, 在給出算法之前, 首先討論最優(yōu)解的有關(guān)性質(zhì)。假設(shè)決策期包含T個階段, 如果不考慮轉(zhuǎn)換成本, 則在任意階段t, 選擇第j個備選倉儲中心的運輸成本為:

Cjt=n∑i=1cdijqit, j=1,2,?,m (2)

在已知Cjt的情況下, P1問題可以轉(zhuǎn)化為特殊的最短路問題, 該最短路問題具有以下三個特點: (1) 具有T個階段, 每階段均包含m個結(jié)點, 其中第t階段的第j個結(jié)點記為yjt, 對應(yīng)于第t階段的備選倉儲中心yj; (2) 上一階段的任一結(jié)點都可以到達下一階段的所有結(jié)點, 其中只有一條弧長為0, 其它均為C, 在P1問題中的實際意義是, 如果前后兩相鄰階段的倉儲中心位置不變, 則弧長為0, 如果改變則弧長為C; (3) 第t階段的每個結(jié)點也有權(quán)重, 權(quán)重值為Cjt。

我們可以通過以下兩個輔助操作, 把該特殊最短路問題轉(zhuǎn)化為一般的分階段最短路問題: (1) 增加兩個虛擬結(jié)點:一個初始結(jié)點O和一個終止結(jié)點D, 同時連接結(jié)點O和第一階段的m個結(jié)點, 以及結(jié)點D和最后階段的m個結(jié)點, 令增加的虛擬結(jié)點和虛擬弧的權(quán)重均為0; (2) 把第t階段的結(jié)點yjt的權(quán)重變?yōu)?, 把結(jié)點yji所有入弧的權(quán)重都增加Cjt。則可以用圖1描述該特殊最短路問題, 其中最短路徑對應(yīng)的結(jié)點就是最優(yōu)的倉儲中心選擇序列。

因為該最短路問題具有 (Tm+2) 個結(jié)點, 所以直接利用Dijkstra算法對該最短路問題進行求解的時間復(fù)雜性為O ( (Tm) 2) 。為了尋找更加快捷的算法, 對問題的最優(yōu)解結(jié)構(gòu)進行分析:設(shè)Ctit為第t階段選擇中心yi時, 前t階段的最小總成本, 且定義Yit為實現(xiàn)Ctit時從第1階段到第t階段的倉儲中心序列, 則下面的引理是顯然的:

引理1 若最優(yōu)策略在第t階段選擇了中心yi, 則第t階段以前的中心序列為Yit。

圖1 P1問題的最短路模型示意圖  下載原圖

結(jié)合前文對Cjt的定義, 有以下遞推關(guān)系:

Ctit=min{Ct-1i(t-1)+Cit,minj≠i{Ct-1j(t-1)+C+Cit}}, i=1,2,3,?,m (3)

根據(jù)引理1和關(guān)系式 (3) , 給出離線問題的動態(tài)規(guī)劃算法 (DPA) 如下:

Step 1 計算Cjt=n∑i=1cdijqit, j=1, 2, …, m;t=1, 2, …, T, 令C1j1=Cj1, j=1, 2, …, m, 得到向量X1= (C111, C121, …, C1m1) T。

Step 2 , For (t=2;t=T;t++) , 計算Ctit=min{Ct-1i(t-1)+Cit,minj≠i{Ct-1j(t-1)+C+Cit}},i=1,2,3,?,m, 若Ct-1i(t-1)+Cit≤minj≠i{Ct-1j(t-1)+C+Cit}, 則標(biāo)記ji (t-1) =i, 否則標(biāo)記ji(t-1)=j=argminj≠i{Ct-1j(t-1)+C+Cit}, 同時得到向量Xt= (Ct1t, Ct2t, …, Ctmt) T。

Step 3 令Csummin=min1≤j≤mCΤjΤ, 標(biāo)記j*Τ=j=argminjCΤjΤ。

Step 4 標(biāo)記j*T-1=jj*T (T-1) , 令T=T-1, 當(dāng)T=1時結(jié)束, 否則返回Step 4, 并記錄Csummin以及序列 (j*1, j*2, …j*T) 。

其中序列 (j*1, j*2, …j*T) 對應(yīng)的倉儲中心序列即為最優(yōu)的選擇序列, 最優(yōu)成本為Csummin。

關(guān)于算法時間復(fù)雜性的分析:Step 1需要計算 (Tm) 個值, 每個值需要n次加法運算, 所以Step 1的時間復(fù)雜性為O (Tm) ;Step 2共需循環(huán)T次, 每次循環(huán)需要確定m個值, 而每個值需要進行m次比較, 所以時間復(fù)雜性為O (Tm2logm) ;Step 3和Step 4的時間復(fù)雜性分別為O (1) 和O (T) , 所以總的時間復(fù)雜性為O (Tm2logm) , 如下面定理所示:

定理1 對于P1問題, 存在時間復(fù)雜性為O (Tm2logm) 的線性算法 (DPA) 。

從定理1可知, 當(dāng)T>logm時, DPA算法的復(fù)雜性 (O (Tm2logm) ) 小于Dijkstra算法的復(fù)雜性 (O (Tm) 2) ) , 因此面對實際問題時, 可以先判斷是否滿足T>logm, 如果滿足則利用本文的DPA算法進行求解, 否則直接采用Dijkstra算法進行求解。

上一節(jié)給出了離線情形的最優(yōu)解及算法, 而在實際商業(yè)活動中, 尤其是需求波動大的產(chǎn)品, 未來的需求情況往往難以預(yù)測, 因此在只知道當(dāng)前階段及以前階段的需求情況時, 對倉儲中心的選擇做出在線決策就顯得更為重要。面臨不確定問題時, 人們對未來缺乏充足的認識, 通常追求“眼前利益”, 這正是貪婪策略產(chǎn)生的根源, 本節(jié)針對具有在線決策特點的P2問題給出一種簡單貪婪策略, 并分別在一般情形和特殊情形下, 討論了策略的競爭性能。

簡單貪婪策略 (SGS) :設(shè)t-1階段的倉儲中心為yi, 則在t階段進行判斷:若Cit≤C+minj≠iCjt, 則不改變倉儲中心, 仍然為yi, 否則選擇倉儲中心yj, 滿足j=argminj≠iCjt。

簡單貪婪策略是人們在處理類似P2問題時經(jīng)常做出的選擇, 但是從競爭分析的角度而言, 在一般情形下簡單貪婪策略不是競爭的。要證明該策略不是競爭的, 只需構(gòu)造一個序列, 使得貪婪策略在該序列下沒有常數(shù)競爭比, 或者競爭比無界, 因此構(gòu)造下面特例:

設(shè)只有三個備選倉儲中心, 即y1、y2、y3, 同時構(gòu)造T個階段的需求序列使得對應(yīng)的各倉儲中心的運輸成本向量分別為:C1= (x, M, …, x, M) , C2= (M, x…, M, x) , C3= (x+ε, x+ε, …, x+ε) , 其中M>x+C, ε→0+。在這里向量Ci中的分量表示倉儲中心yi在某一階段的運輸成本Cit。

根據(jù)定義, 簡單貪婪策略的倉儲中心選擇序列為 (y1, y2, …, y1, y2) , 對應(yīng)成本為Tx+ (T-1) C;而最優(yōu)策略的選擇序列為 (y3, y3, …, y3) , 對應(yīng)成本為Tx+Tε。因此一般情形下, 簡單貪婪策略的競爭比不小于r1=Τx+(Τ-1)CΤx+Τε=1+(Τ+1)CΤx, 而當(dāng)C>>x時, r1是無界的, 因此有下面定理:

定理2 一般情形下, 簡單貪婪策略 (SGS) 不是競爭的。

上一小節(jié)論證了簡單貪婪策略在一般情形下不是競爭的。本節(jié)結(jié)合實際情況, 研究了經(jīng)濟生活中經(jīng)常存在的一種特殊情形下的簡單貪婪策略的競爭性能。特殊情形:任何階段中, 各倉儲中心的運輸成本都至少是改變倉儲中心所需轉(zhuǎn)化成本的α倍, 即存在關(guān)系:Cjt≥αC。在該特殊情形下, 當(dāng)α是確定常數(shù)時, 簡單貪婪策略具有常數(shù)競爭比, 如定理3所示:

定理3 當(dāng)Cjt≥αC時, 簡單貪婪策略 (SGS) 的競爭比為r2=1+1α。

證明 首先對于簡單貪婪策略而言, 如果在第t-1階段選擇的倉儲中心為yi, 則在第階段會出現(xiàn)兩種可能的情形:Cit≤C+minj≠iCjt或者Cit>C+minj≠iCjt。若Cit≤C+minj≠iCjt, 則不改變倉儲中心位置;若Cit>C+minj≠iCjt, 則倉儲中心位置變更為yj, 其中j=argminj≠iCjt。無論哪種情形, 簡單貪婪策略在每階段的成本 (Cont) 都滿足關(guān)系式:Cont≤C+minjCjt。對于離線最優(yōu)策略而言, 每階段的成本 (Coptt) 不小于該階段的最小運輸成本, 即Coptt。≥minjCjt。

所以該情形下的策略競爭比為

r2=ConCopt=Τ∑t=1ContΤ∑t=1Coptt≤Τ∑t=1(minjCjt)+ΤCΤ∑t=1(minjCjt)=1+ΤCΤ∑t=1(minjCjt)≤1+1α (4)

證畢。

特殊情形下, 簡單貪婪策略的競爭性能給決策者的啟示是:當(dāng)α較大時, 貪婪策略與離線最優(yōu)策略的差距較小, 因此這種情況下簡單貪婪策略是合理的在線策略。值得注意的是, 很多決策者具有不同程度的成本敏感度, 即當(dāng)成本差異在一定范圍之內(nèi)可以接受, 超出該范圍就明顯感受到差異, 結(jié)合敏感度的啟示是, 當(dāng)決策者的敏感度s≥α時, 對于決策者而言, 簡單貪婪策略和離線最優(yōu)策略沒有區(qū)別;當(dāng)決策者的敏感度s<α時, 能夠比較明顯地感受簡單貪婪策略和離線最優(yōu)策略的差異。

假設(shè)某公司需要將產(chǎn)品運往5個需求點, 其可選擇的倉儲中心有3個, 倉儲中心與需求點以及需求點之間的距離如圖2所示。設(shè)定單位運輸成本c=1, 倉儲中心轉(zhuǎn)換成本C=800, T=4, Dt={q1, q2t, q3t, q4t, q5t}表示第t階段5個需求點的需求的集合, 其中D1={239, 179, 25, 19, 33}, D2={37, 29, 62, 158, 277}, D3={185, 166, 33, 28, 35}, D4={64, 75, 450, 224, 150}。

圖2 倉儲各心及需求點運輸路線示意圖  下載原圖

離線情景下, 公司對4個階段中需求點的需求狀況完全了解。由于可選倉儲中心只有3個, 因此無論采用DPA算法還是Dijkstra算法進行計算都不復(fù)雜, 本算例中采用本文設(shè)計的DPA算法進行求解:

Step 1 對第1階段各個倉儲中心的運輸成本進行計算, 如:C11=5∑i=1cdi1qi1=742, 并令C111=C11, 得到向量X1= (742, 1509, 2252) 。

Step 2 先對第2階段的第一個倉儲中心進行分析, 計算C212=min{C111+C12, min{C121+C+C12, C131+C+C12}}=C111+C12=3226, 同理可得C222=3201, C232=2439, 最終得到向量X2= (3226, 3201, 2439) ;以此類推, 再進行第3階段, 第4階段的計算, 得到X3= (3965, 4502, 4342) , X4= (6800, 6406, 6300) 。

Step 3 根據(jù)X4可知, 令Csummin=C434=6300, 標(biāo)記j*T=3。

Step 4 根據(jù)第三步的結(jié)果進行逆推, 可知倉儲中心選擇的最優(yōu)序列為 (1, 3, 3, 3) , 最低成本Copt=6300。

然而現(xiàn)實中, 公司往往對未來的需求信息并不能做到完全掌握。在線情境下, 假設(shè)公司僅知道當(dāng)前階段的需求信息, 即在第t階段時, 公司僅知道Dt及t階段以前的信息。針對此情景, 采用文中設(shè)計的簡單貪婪策略進行求解, 具體如下:

Step 1 第1階段選擇成本最小的倉儲中心, 由C1i1=min{C11, C21, C31}=742可知為倉儲中心1, 即i=1。

Step 2 在選定倉儲中心1的基礎(chǔ)上進行第2階段選擇, 由C2i2=min{C111+C12, min{C111+C+C22, C111+C+C32}}=C111+C32=2439知選擇倉儲中心3;以此類推, 第3階段選擇倉儲中心1, C313=3978;第4階段選擇倉儲中心2, C424=6682。

Step 3 根據(jù)第二步的結(jié)果, 可知倉儲中心選擇序列為 (1, 3, 1, 2) , 最低成本Con=6682。

由以上兩部分計算可知, 此算例中在線與離線的比值r=ConCopt=1.1。結(jié)合定理3可知, 當(dāng)倉儲中心轉(zhuǎn)換成本足夠小的情境下, 即滿足Cjt≥αC, 采用簡單貪婪策略可以有效的控制成本, 使得簡單貪婪策略的運輸成本與最優(yōu)策略的成本比值總在一定的比例之內(nèi)。

在物流管理中, 物流中心選址是一個經(jīng)典問題, 以往的研究多是考慮自建設(shè)施。但在中國當(dāng)前的經(jīng)濟情境下, 城市地價飛漲, 自建倉儲中心的成本會遠遠超過租賃成本, 占用企業(yè)大量的資金。同時 , 如果只建單一倉儲中心, 當(dāng)需求變動時, 無疑會大幅增加運輸成本;而建造多個倉儲中心, 不僅會增加投入, 同時還會面臨空置的風(fēng)險, 增加了管理成本。因此, 當(dāng)決策者資金有限, 或者銷售產(chǎn)品具有需求波動大的特點時, 往往會采取租用第三方倉儲中心的策略。

假設(shè)倉儲成本不變的條件下, 決策者出于運輸費用最小化考慮, 往往租用臨近消費者的倉儲中心, 但是消費者消費趨向的轉(zhuǎn)變往往導(dǎo)致以前的倉儲中心不再適合, 因此根據(jù)消費趨向的變化動態(tài)地選擇倉儲中心顯得尤為重要。本文首先針對未來需求變化完全預(yù)知的情形, 給出了時間復(fù)雜性為O (Tm2logn) 的離線算法;其次, 對于未來需求變化無法預(yù)知的情形, 分析了一般情形下, 簡單貪婪策略 (SGS) 的競爭性能, 指出一般情形下SGS不具有競爭性;并結(jié)合實際, 分析了特殊情形下 (Cjt≥αC) 的SGS, 證明了該情形下的競爭比為1+1α。而結(jié)合城市的交通狀況以及最新的經(jīng)濟形勢, 設(shè)計合理的動態(tài)選址策略正是以后的研究方向。